Курсовая_работа_ДМ_6_вариант.docx
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования«ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Курсовая работапо дисциплине: Динамические моделина тему: Динамическая система Лоренца
Выполнила: студентка 3 курса У-321 группыТемирсултанова С.Т.Проверил: ст.пр. кафедры ПМиИДенгаев А.М.
Махачкала 2016
СодержаниеГлава 1. Теоретическая часть 41.1 Краткий обзор динамических систем 41.2 Динамическая система Лоренца 9Глава 2. Практическая часть 152.1 Индивидуальное задание 152.2 Построение математической модели решения задачи 152.3 Автоматизация процесса решения задачи 17Заключение 20Список литературы 21
ВведениеАттрактор Лоренца – это, пожалуй, самая известная динамическая система в теории хаоса. Уже несколько десятков лет он привлекает большое внимание многих исследователей для описания тех или иных физических процессов. Первое упоминание аттрактора приводится в 1963 году в работах метеоролога Эдварда Нортона Лоренца, который занимался моделированием атмосферных явлений. Основной причиной, породившей такой интерес к системе уравнения Лоренца, является хаотическое поведение ее траекторий. Ясности в исследуемых вопросах ещё нет. Некоторые результаты обоснованы только на «физическом уровне строгости» или численно и говорить о сформировавшейся теории рано. Поэтому изучение рекомендуемой литературы требует довольно высокой математической подготовки. Цель курсовой работы – формирование практических навыков реализации метода исследования динамической модели на устойчивость.Математическая модель, в которой в той или иной форме раскрываются причинно-следственные связи, определяющие процесс перехода системы из одного состояния в другое, называется динамической моделью.Динамическая модель - теоретическая конструкция (
), описывающая изменение (
) состояний объекта. Динамическая модель может включать в себя описание этапов или фаз или диаграмму состояний подсистем. Часто имеет математическое выражение и имеет широкое распространение во всех без исключения науках в том числе в
и
.Динамическая модель описывает систему с различными аккумуляторами энергии, представляемыми в форме математических операций суммирования, интегрирования и дифференцирования.
Глава 1. Теоретическая частьКраткий обзор динамических системДинамическая система – это некоторое множество элементов, для которого задана функциональная зависимость (закон эволюции) между временной координатой и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Проще говоря, динамическая система – это такая система, у которой состояние в пространстве изменяется с течением времени. Динамические системы - это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание закона эволюции допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов и т. д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы. Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены динамические переменные (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. В последние годы стало ясно (и отчасти это определилось благодаря исследованиям нелинейных систем с применением быстродействующих компьютеров), что высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени – типичное свойство многих систем. С точки зрения математики во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше 2 можно обнаружить хаос, и следовательно, на достаточно больших временах их поведение становится непредсказуемым.Многие физические процессы в природе описываются системами уравнений, представляющими собой динамические системы. Например, это процессы горения, течения жидкости и газов, поведение магнитных полей и электрических колебаний, химические реакции, метеорологические явления, изменение популяций у растений и животных, турбулентности в морских течениях, движение планет и даже галактик. Как видно, многие физические явления можно в той или иной мере описать как хаотический процесс.Динамическая система формально определена, если заданы три следующих элемента: 1) множество состояний Х, образующее полное метрическое пространство (фазовое пространство); 2) множество моментов времени ; 3) оператор эволюции - некоторое отображение , которое каждому состоянию в начальный момент времени однозначно ставит в соответствие некоторое состояние в любой другой момент времени . Таким образом, можно записать:
Если , то есть время принимает непрерывное множество значений, то оператор эволюции непрерывен по и соответствующую динамическую систему называют системой с непрерывным временем или потоком, no аналогии с течением жидкости. Если множество является счетным, то динамическую систему называют системой с дискретным временем или каскадом. Множество состояний Х, так же как и множество моментов времени, может быть различно. Это может быть конечное или счетное множество, что характерно для класса ДС, называемых клеточными автоматами. Множество Х может представлять собой арифметическое пространство с конечной размерностью N (вещественное - или комплексное -). Таким является фазовое пространство ДС, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Наконец, Х может быть функциональным пространством. В этом случае ДС задается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями или обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими задержку во времени.Динамические системы можно классифицировать в зависимости от свойств оператора эволюции. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: . Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной ступени познания, - принцип суперпозиции – позволяет физически конструировать любое решение из определенного набора частных решений. Если оператор эволюции нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной.Если оператор эволюции определен для всех значений сдвига во времени , то он является обратимым, т. е. существует обратный к нему оператор , позволяющий, зная состояние системы в момент , найти состояние системы в предшествующий момент . ДС также называется обратимой во времени. Если оператор эволюции определен только для , то он необратим и предшествующее состояние системы однозначно определить нельзя. Система в этом случае называется необратимой во времени. Если оператор эволюции не зависит от момента времени , а определяется только начальным состояниям и интервалом , то соответствующая ДС называется автономной, в противном случае система называется неавтономной. С физической точки зрения автономность системы означает, что на систему не действуют никакие внешние силы и параметры системы постоянны во времени. Если оператор эволюции сохраняет фазовый объем, то динамическая система называется консервативной. Полная энергия консервативной системы остается постоянной. Если оператор эволюции сжимает фазовый объем, то система называется диссипативной. В такой системе происходит рассеяние (диссипация) энергии.Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы, которые принципиально неконсервативны и нелинейны.Для исследования нелинейных систем и наглядного представления, происходящих в них сложных динамических процессов использует фазовое пространство, в котором строятся фазовые портреты. Метод анализа колебательных процессов с помощью исследования геометрии фазовых траекторий динамической системы был введен в теорию колебаний Л. И. Мандельштамом и А. А. Андроновым и с тех пор стал привычным инструментом при исследовании самых различных колебательных явлений. Каждая динамическая система имеет свой фазовый портрет. Фазовый портрет – это координатная плоскость, в которой каждая точка соответствует состоянию динамической системы в определенный момент времени. Иными словами, это пространственная модель системы (может быть двумерной, трехмерной и даже четырехмерной и более).Остов фазового портрета – совокупность наиболее важных его деталей – особых точек (точек остановки, или обращения в нуль) векторного поля, сепаратрис, отделяющих качественно различные типы траекторий, границы областей притяжения:P – особые точки гиперболического типа (седла);Q – особые точки-центры;сепаратриса отделяет периодические колебания (замкнутые траектории вокруг центров Q внутри сепаратрисных петель) от гиперболических колебаний (кривые вне сепаратрис).Фрагмент фазового портрета осциллятора:
Точки положения равновесия (особые точки) могут быть устойчивыми или неустойчивыми. Если динамическая система находится в окрестности устойчивой точки равновесия, то малые возмущения не нарушат устойчивой работы системы. Если точка положения равновесия не устойчива, то возмущения будут прогрессировать что может привести к разрушению системы.Разнообразие поведения траекторий на плоскости ограничено теоремой Бендиксона-Пуанкаре, согласно которой траектория может уйти на бесконечность, «уткнуться» в особую точку. Выдающийся специалист по теории колебаний А.А.Андронов в поисках новых типов траекторий провозгласил лозунг: «Выйти из плоскости!». Первым по-настоящему выйти из плоскости удалось американскому метеорологу Эдварду Лоренцу в конце 1970-х гг. Рассматривая тепловую конвекцию в подогреваемом снизу горизонтальном слое вязкой жидкости, Э.Лоренц получил из уравнений Буссинеска систему из трех уравнений. Исследуя систему численными методами, он обнаружил новый тип поведения траекторий, притягивающихся в фазовом пространстве к некоторому образованию, не имеющему аналогов на плоскости.Многие хаотические процессы представляют собой аттракторы, т. к. сосредоточены в определенной области пространства.1.2 Динамическая система ЛоренцаАттрактор Лоренца – это трехмерная динамическая система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Она имеет сложную топологическую структуру, асимптотически устойчива и устойчива по Ляпунову. Кроме того, эта динамическая система описывает поведение следующих физических процессов:– модель одномодового лазера,– конвекция в замкнутой петле и плоском слое,– вращение водяного колеса,– гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью,– завихрения облачных масс и т.д.В 1961г. Лоренц с помощью своего нового компьютера занимался моделированием погоды на основании законов, выражающих соотношения между температурой и давлением, давлением и скоростью ветра и т.д. Однажды он решил продолжить предыдущий эксперимент в течение более продолжительного времени и в качестве исходного значения ввел начальные данные предыдущего эксперимента. Однако вместо повторения эксперимента Лоренц получил быструю расходимость выходных данных. Тогда он обратил внимание на то, что ввел данные с точностью до 3 знаков после запятой вместо 6, и понял, что разница в несколько тысячных долей привела к появлению макроскопических ошибок. К 1963 г. Лоренц сильно упростил модель конвекции, которая использовалась в науке об атмосфере, сведя ее к дифференциальным уравнениям
Он проделал тщательно анализ для частных значений σ =10, r =28 и b =8/3. На рис. 1. показан фазовый портрет системы Лоренца. Как можно видеть фазовая траектория вырисовывает в пространстве состояний некий объект сложной структуры, который похож на моток ниток, причем не перепутанных, а аккуратно уложенных одна вдоль другой. Это образование называют странным аттрактором или, в контексте данной конкретной системы, аттрактором Лоренца.
Рис. 1. Фазовый портрет аттрактора Лоренца для «классического» набора параметровСвойства системы Лоренца:Однородность( отсутствие свободных членов), откуда следует, чтоO = (x = 0, y = 0, z = 0) – неподвижная(особая точка). Существование точки O обусловлено однородностью системы Лоренца и не зависит от значений параметров Симметрия. Система Лоренца переходит в себя(остается инвариантной) под действием преобразования
Диссипативность.
Фазовый поток системы Лоренца сжимается.Ограниченность траекторий. Войдя в сферу, траектории системы Лоренца остаются в ограниченной части фазового пространства.По определению неподвижной называется точка, которая под действием системы переходит в себя. Система Лоренца состоит из трех уравнений, разрешенных относительно скоростей изменения величин x, y и z во времени. Для того чтобы точка (x, y, z) была неподвижной вектор скорости () в ней должен быть равен нулю. Приравнивая нулю левые части системы Лоренца, получаем систему уравнений:
Точка O(0,0,0) – её неподвижная точка при любых значениях параметров. Пусть теперь x ≠ 0, тогда из второго уравнения системы получаем: , а из третьего уравнения – что .Таким образом, помимо точки O существует еще одна неподвижная точка O1 :
Так как система Лоренца инвариантна у точки O1 имеется парная ей неподвижная точка O2:
С физической точки зрения, в задаче о конвекции первая неподвижная точка отвечает состоянию равновесия и отсутствию конвекционных потоков. Лазер не генерирует, водяное колесо неподвижно. Второе и третье решения соответствуют наличию конвекционного потока. Водяное колесо вращается в одну или другую сторону с постоянной скоростью. Лазер генерирует сигнал постоянной интенсивности, не зависящей от времени. Вторая и третья неподвижные точки уравнений Лоренца могут служить примером пары симметричных партнеров – они переходят друг в друга при одновременном изменении знаков x и y. Линеаризованное преобразование системы имеет вид:
и позволяет сделать следующие выводы об устойчивости критических точек. : при точка устойчивости, т.е. все собственные значения имеют отрицательную действительную часть; при действительная часть одного из собственных значений становится положительной. Критическая точка неустойчива, и, следовательно, бесконечно малое возмущение может вызвать конвекцию. Устойчивость критической точки зависит только от значения числа Рэлея. при собственные значения состоят из одного действительного отрицательного корня и пары комплексно-сопряженных корней. Можно показать, что эта пара критических точек теряет устойчивость при
При положительных r это условие выполняется только в том случае, если .Устойчивость этих критических точек зависит уже не только от значения числа Рэлея. В своей работе Лоренц выбрал следующие значения параметров: При таком выборе стационарное состояние теряет устойчивость при и скорость сжатия очень велика.Сформулируем, что происходит с решениями уравнений Лоренца по мере возрастания r. Начало координат является глобальным притягивающим стационарным решением, и все траектории (соответствующие всем различным начальным условиям) постепенно закручиваются по спирали к началу координат.74. Начало координат теряет устойчивость и в результате бифуркации превращается в пару локальных притягивающих стационарных решений Фактически все траектории стягиваются либо к , либо к . Исключение составляет множество траекторий, остающихся в окрестности начала координат. При начало координат преобразуется в гомоклиническую точку. Дальнейший рост r приводит к неразличимости «областей притяжения» и , в результате чего траектории могут переходить из одной в другую прежде, чем окончательно зафиксироваться. Это критическое значение, при котором стационарные состояния и теряют устойчивость. Однако анализ по Хорфу показал, что при больших значениях r существует обратная бифуркация; поэтому предельные точки и не превращаются в предельные циклы. Траектории, полученные в этом режиме, ведут себя нетривиально. В оригинальной работе Лоренц рассматривал траекторию с начальными условиями (X, Y, Z)=(0, 1, 0) (малое отклонение от равновесия) при на значении r=28. При этом значении r имеются неустойчивые стационарные состояния Расчеты Лоренца показали, что после того как некоторые временные колебания затухают, движение становится крайне неупорядоченным. Это является результатом того, что решение, раскручиваясь по спирали в окрестности одной из неподвижных точек в течение произвольного периода времени, перепрыгивает затем в окрестность второй неподвижной точки и также некоторое время раскручивается по спирали, а затем перепрыгивает назад и т.д. Такое сочетание движения по спирали (вдоль неустойчивого многообразия) и возврата (вдоль устойчивого многообразия) порождает обсуждавшийся выше механизм растяжений и складываний и приводит к чрезвычайно сложному многообразию, а именно, к странному аттрактору определенного вида.
Глава 2. Практическая часть2.1 Индивидуальное заданиеСистема Лоренца(LOR) – знаменитая система уравнений, полученная американским метеорологом Лоренцем при упрощении уравнений Зальцмана для тепловой конвекции в жидкости, ныне стала классическим примером динамической системы с хаотическим аттрактором.
типичные значения параметров:
2.2 Построение математической модели решения задачиРассмотрим слой жидкости постоянной глубины , на которую наложен температурный градиент . Если все движения параллельны плоскости (x-z) и однородны в направлении y, то управляющие уравнения движения могут быть представлены в двумерном виде:
где φ – функция тока двумерного движения, то есть компоненты скорости задаются соотношениями
а θ – поле температур, характеризующее отклонение от состояния равновесия. Коэффициенты:g – гравитационная постоянная, α – коэффициент термического расширения, v – кинематическая вязкость, k – теплопроводность.Рэлей нашел, что решения вида
должны возрастать в том случае, если число Рэлея, то есть величина
будет превышать критическую величину
Минимальное значение достигается при α2=1/2: .Для численного решения задачи требуется проинтегрировать пару двумерных дифференциальных уравнений в частных производных (1). Это всегда неприятная задача. Альтернативой непосредственному численному интегрированию является разложение функций θ и φ по базисному набору. При этом, задавшись периодическими граничными условиями в обоих направлениях, имеем
Подстановка этих разложений в дифференциальные уравнения в частных производных дает бесконечное число обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ). Для осуществления интегрирования требуется конечное усечение этого бесконечного набора.Лоренц(1963) рассмотрел предельное возможное усечение, включив в рассмотрение лишь коэффициенты φ11(обозначим через X), θ11(Y) и θ02(Z). В этом случае с помощью масштабных преобразований можно свести систему к следующей системе трех ОДУ: (2)где – число Прандтля, - (нормированное) число Рэлея, b=4/(1+α2) – геометрический фактор и переменная времени преобразуется как τ=π2(1+α2) kt/H2. В системе уравнений (2), обычно называемых уравнениями Лоренца, переменными X, Y и Z может быть дана простая физическая интерпретация:X – интенсивность конвекции;Y – разность температур между восходящими и нисходящими потоками;Z – отклонение вертикального температурного профиля от линейного.Оказывается, эти уравнения описывают динамо-машину (предтечу современных генераторов), и есть предположения, что наблюдаемые при изучении изменения направления могут объяснить происходившие в разные геологические эпохи изменения магнитного поля Земли. В качестве механической реализации этих уравнений можно рассмотреть беспорядочно вращающееся водяное колесо.
2.3 Автоматизация процесса решения задачиРешение подобных нелинейных динамических систем можно получить только численно, поэтому их изучение стало бурно развиваться с ростом возможностей вычислительной техники в последние полвека. Для решения систем ОДУ в MatLAB реализованы различные методы. Их реализации названы решателями ОДУ. Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений:
Решатели ode23 и ode45 предназначены для численного интегрирования систем ОДУ. Они применимы как для решения простых дифференциальных уравнений, так и для моделирования сложных динамических систем. ode45 – одношаговый явный метод Рунге-Кутты 4-го и 5-го порядка. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты.Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) — притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу. Скрипт ds.m задает систему дифференциальных уравнений для аттрактора Лоренца в явном виде и их решения (рис. 1.):
%Решение системы уравнений Лоренца в интервале времени [0,100] с %начальными условиями [1,1,1].clear allclcsigma=10;beta=8/3;
rho=28;f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)];%'f' - это набор дифференциальных уравнений.%'a' - это массив, содержащий значения x,y и z.%'t' - переменная времени.[t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]);%'ode45' использует адаптивный метод Рунге-Кутты 4-го и 5-го %порядка для%решения дифференциальных уравнений.plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3)) %'plot3' - команда для вывода 3D-графика.
рис.1
Если рассматривать траекторию, оказывается, что она притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве. Движение ее блуждающее, т.е. траектория делает один виток направо, затем несколько витков налево, затем направо и т.д.
Заключение
В результате простого качественного рассмотрения особенностей нелинейных диссипативных динамических систем мы пришли к новым принципиальным выводам. 1. В дифференциальных системах с размерностью фазового пространства N≥3 теоретически возможны установившиеся непериодические режимы колебаний. 2. Принципиальной особенностью таких колебаний является их неустойчивость, что приводит к чувствительной зависимости динамики системы от малых возмущений. 3. Неустойчивость нелинейной системы в совокупности с ограниченностью энергии колебаний может вызывать перемешивание. 4. Наличие перемешивания приводит к необходимости введения статистического описания динамики детерминированных систем со странными аттракторами как наиболее удобного. Перечисленные результаты убеждают в том, что режимы функционирования детерминированных нелинейных систем со странными аттракторами действительно обладают специфическими свойствами, совокупность которых включается в понятие детерминированного хаоса.
Список литературыАнищенко В.С., Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для вузов. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.-516с.Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике – М.-Наука, 2001.-320с.Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988М.С.Лурье, О.М.Лурье Применение программы MATLAB при изучении курса электротехники - Красноярск: СибГТУ, 2006.- 208 с.Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение: Учебное пособие – Изд.2-е, испр. – М.: КомКнига, 2006.-208 с. (Синергетика: от прошлого к будущему.)